शुक्रवार, 5 मार्च 2021

1सुविचार मराठी छोटे

 1सुविचार मराठी छोटे

ज्याप्रमाणे जीवनात प्रत्येक गोष्ट महत्वाची असते त्याच प्रमाणे आणि त्यापैकी एक गोष्ट म्हणजे मोटिवेशन, कधी कधी आपण कठीण परिस्थितीचा सामना करताना हतबल होऊन लगेच हार मानतो पण अश्या परिस्थिती मध्ये जर आपल्याला उत्साह निर्माण करणारे काही विचार कानावर पडले तर किंवा आपल्या वाचनात काही उत्साह पूर्वक विचार आलेत तर.


आपण हार न मानता एखादी गोष्ट करण्यासाठी आपले प्राण पणाला लावतो. आणि त्या कार्याला पूर्णत्वास घेऊन जातो, जीवनात उत्साह खूप महत्वपूर्ण असतो, कारण उत्साहामुळे आपल्या जीवनात आपण कोणतेही कार्य करण्यास प्रवृत्त होतो. जीवनात उत्साह असणे खूप आवश्यक आहे. मग ते जीवनातील कोणतेही कार्य का असेना.


आम्ही आपल्यासाठी असेच काही उत्साह निर्माण करणारे Motivational Quotes घेऊन आलेलो आहोत, तर आजच्या लेखात आपण पाहणार आहोत उत्साह निर्माण करणारे काही Motivational Quotes ज्या आपल्याला जीवनात पुढे जाण्यासाठी उपयोगी येतील. आशा करतो आपल्याला आवडतील. तर चला पाहूया..



 

101+ जबरदस्त प्रेरणादायक सुविचार – Best 101 Motivational Quotes in Marathi

Motivational quotes in Marathi for success

Motivational quotes in Marathi for success

विजेते वेगळ्या गोष्टी करत नाही ते प्रत्येक गोष्ट वेगळेपणाने करतात.


शब्दांपेक्षा शांत राहूनच जास्त आक्रमक होता येत.


आज मी निदान एक पाऊल पुढे टाकीन, निदान एक काम पूर्ण करीन, निदान एक अडथळा ओलांडिन, निदान प्रयत्न तरी करीनच करीन.


Inspirational Quotes in Marathi with Images

Motivational Msg

Motivational Msg

न हरता, न थकता न थाबंता प्रयत्न करण्यांसमोर कधी कधी नशीब सुध्दा हरत.


जीवनात चांगल्या माणसांना शोधू नका, स्वतः चांगले व्हा आणि कुणीतरी तुम्हाला शोधत येईल.



 

मनुष्या जवळची नम्रता संपली कि, त्याच्या जवळची माणुसकीच संपली म्हणून समजावे.


Motivational Quotes in Marathi with Images

एखादी गोष्ट करण्यासाठी आपल्याला सकारात्मक विचार प्रवृत्त करत असतात आणि या सकारात्मक विचारांमुळे च तर आपल्यात उत्साह निर्माण होतो. आणि या उत्साहाच्या बळावर आपण एखादे अशक्य वाटणारे कार्य सुध्दा पूर्ण करतो. जीवनात उत्साह जो पर्यंत जिवंत आहे तो पर्यंत माणसाला कोणत्याच गोष्टीची भीती राहत नाही, तो त्या उत्साहाच्या जोरावर जीवनात खूप मोठी कामगिरी पूर्ण करतो. कारण एका दृष्टिकोनातून पाहिले असता माणसाचे जीवन हे आशा आकांक्षांवर अवलंबून आहे जीवनात आशा असणे खूप महत्वाचे आहे. कधीही हार न मानता समोर चालत राहणे म्हणजेच आयुष्य होय.


त्यासाठी आपल्याला जीवनात कधी हताश,उदास, निराश न होता समोर चालत राहणे हा आयुष्याचा नियम आहे, आणि जो या नियमांचं पालन करत आयुष्य जगतो त्याला जीवनात कमी प्रमाणात समस्यांचा सामना करावा लागतो. आयुष्यात एका ठिकाणी कधीही अडकून न राहता नेहमी चालत राहावे ज्याप्रमाणे पाणी एका ठिकाणावरून दुसऱ्या ठिकाणी वाहत राहते, तेच पाणी जर एका ठिकाणांवर थांबले तर त्या पाण्यात जीव जंतू निर्माण होऊन ते पाणी खराब होते. अश्याच प्रकारे आपल्यात उत्साह निर्माण करणारे आणखी काही Quotes खाली दिलेले आहेत. तर चला पाहूया..


Inspirational Quotes in Marathi with Images

Inspirational Quotes in Marathi with Images

 जे लोक तुमचे परीक्षा पाहण्याचे प्रयत्न करतात, त्याचे निकाल लावण्याचे सामर्थ्य स्वतः जवळ ठेवा.


बोलून विचार करण्यापेक्षा बोलण्याआधी विचार केलेला बरा.


जोपर्यंत चांगले शिक्षाण घेणे म्हणजे चांगली नोकरी लागणे, हि संकल्पना पालक आणि विध्यार्थाच्या डोक्यातून निघत नाही. तोपर्यंत समाजात नोकरच जन्माला येतील मालक नाही.


Inspirational Quotes in Marathi

Inspirational Quotes in Marathi

Inspirational Quotes in Marathi

शहाणा माणूस प्रत्येकवेळी एकांतात आणि आणि कमजोर व्यक्ती नेहमी घोळक्यात दिसतो.


खूप माणसांची स्वप्ने या एका विचारामुळे अपूर्ण राहतात तो म्हणजे “लोक काय म्हणतील?”


स्वप्न पाहतच असालं तर मोठाच पाहा. लहान कशाला? कारण मोठी स्वप्नेच माणसाच रक्त ढवळू शकतात.


Marathi Inspirational Quotes Images

Marathi Inspirational Quotes Images

Marathi Inspirational Quotes Images

 आपल्या चुका सुधारण्यासाठी जो स्वतःशीच लढाई करतो, त्याला कुणीही हरवू शकत नाही .


नेहमी तुमचे सर्वोत्तम प्रयत्न करा आणि हे करून देखील ते तुमची कदर करत नसतील तर तो त्यांचा दोष आहे तुमचा नाही.


खर्या अर्थाने सामर्थवान बनायचे असेल तर एकट्याने लढायला शिका.


Marathi Inspirational Quotes On Life Challenges

Marathi Inspirational Quotes on Life Challenges

Marathi Inspirational Quotes On Life Challenges

ज्या गोष्टी तुम्ही सहन करू शकत नाही, त्या इतरांसोबत करू नका.


पैज लावायची तर स्वतः सोबतच लावा कारण जिंकलात तर, स्वत:चा आत्मविश्वास जिंकाल…आणि हरलात तर स्वत:चाच अहंकार हराल.


ध्येय दूर आहे म्हणून रस्ता सोडू नका.


Marathi Inspirational Quotes on Life

Marathi Inspirational Quotes on Life

Marathi Inspirational Quotes on Life

 तुमचा शत्रू जितकी दुःख देत नाही , त्यापेक्षा जास्त वेदना तुमचे नकारात्मक विचार देतात.


स्वतः चा विकास करा, लक्षात ठेवा, गती आणि वाढ हीच जिवंतपणाचे लक्षण आहेत.


तुमचा आजचा संघर्ष तुमचे उद्याचे सामर्थ निर्माण करतो त्यामुळे विचार बदला आणि! बदला तुमचे आयुष्य.


Marathi Inspirational Quotes

Marathi Inspirational Quotes

Marathi Inspirational Quotes

 प्रामाणिकपणा  हि शिकवण्याची बाब नाही, तर तो रक्तातच असावा लागतो, त्यात टक्केवारी नसते ,तो असतो किंवा नसतो.


कोणतेही कार्य हे अडथळ्याशिवाय पार पडत नाही. शेवटपर्यंत जे प्रयत्न करीत राहतात त्यानांच यश प्राप्त होते.


“यशस्वी होण्यासाठी तुमची यशस्वी होण्याची इछा अपयशी होण्याच्या भितिपेक्षा अधिक प्रबळ असली पाहिजे”.


Motivational Quotes in Marathi for Students

Motivational Quotes in Marathi for Students

Motivational Quotes in Marathi for Students

खऱ्या विद्यार्थ्यांला कधीच सुट्टी नसते, सुट्टी हि त्याच्यासाठी काहीतरी नवीन शिकण्याची संधी असते.


ज्याला संधि मिलते तो नशीबवान. जो संधि निर्माण करतो तो बुद्धिवान. आणि जो संधिचे सोने करतो तो विजेता.


Prernadayak Suvichar in Marathi

Prernadayak Suvichar in Marathi

Prernadayak Suvichar in Marathi

 आपल्या नियतीचे मालक बना परंतु परिस्थितीचे गुलाम होवू नका. 


स्वभावातील गोडीने आणि जिभेवरील माधुर्याने माणसे जोडली जातात.


रस्ता सापडत नसेल तर…स्वत:चा रस्ता स्वत:च तयार करा.


Prernadayak Status

Prernadayak Status

Prernadayak Status

 “कोणीही पाहत नसताना आपले काम जबाबदारीने करणे म्हणजे प्रामाणिकपणा”


ज्याच्याजवळ उमेद आहे तो कधीही हरू शकत नाही.


स्वत:ला जिंकायचे असेल तर डोक्याचा उपयोग करा; इतरांना जिंकायचे असेल तर हृदयाचा उपयोग करा.


Prernadayak Suvichar

Prernadayak Suvichar

Prernadayak Suvichar

जिंकणे म्हणजे नेहमी फक्त पहिला येणे असे नाही  तर, एखादी गोष्ट पूर्वीपेक्षा जास्त चांगली करणे म्हणजेच जिंकणे होय.


चुकण हि ‘प्रकृती’, मान्य करण हि ‘संस्कृती’ आणि सुधारणा करण ही ‘प्रगती’ आहे.


समजवण्यापेक्षा समजून घेण्यामध्ये खरी परीक्षा असते, कारण समजवण्यासाठी अनुभवाचा कस लागतो, तर समजून घेण्यासाठी मनाचा मोठेपणा लागतो.


Marathi Motivational Quotes Images

Marathi Motivational Quotes Images

Marathi Motivational Quotes Images

माणसाला एखादी गोष्ट करायची असेल तर मार्ग सापडतो आणि करायची नसेल तर कारण सापडतात.


या दोन गोष्टींमुळे जग तुम्हाला ओळखते, तुमच्याजवळ काहीच नसतांना तुम्ही बाळगलेला संयम आणि तुमच्याजवळ सर्वकाही असतांना तुम्ही दाखवलेला रुबाब.


तुम्ही ठरवलेल्या धेय्यावर लोक हसत नसतील तर तुमची ध्येये खुपच लहान आहेत हे लक्ष्यात घ्या.


Marathi Motivational Quotes

Marathi Motivational Quotes

Marathi Motivational Quotes

हार पत्करण माझ ध्येय नाही कारण मी बनलोय जिंकण्यासाठी.


“जिंकणे म्हणजे नेहमी फक्त पहिला येणे असे नसते, एखादी गोष्ट पूर्वीपेक्षा जास्त चांगली करणे म्हणजेच जिंकणे होय.”


विजेते वेगळ्या गोष्टी करत नाहीत. गोष्टी करत नाहीत. ते प्रत्येक गोष्ट वेगालळेपनाने करतात.


Marathi Motivational Shayari

Marathi motivational Shayari

Marathi Motivational Shayari

कुणी तुमच्यासोबत नसेल तर घाबरू नका कारण उंच उडणारे गरुड खु कमी असतात.


डोक शांत असेल तर निर्णय चुकत नाही, भाषा गोड असेल तर माणसं तुटत नाहीत.


स्वत:वर विश्वास ठेवता पण हा यशस्वी होण्याच्या मर्गातला पहिला टप्पा आहे.


Marathi Motivational Status for Whatsapp

Marathi Motivational Status for Whatsapp

Marathi Motivational Status for Whatsapp

यश प्राप्त करण्यासाठी, यशस्वी होण्यासाठीची तुमची इच्या हि अपयशी होण्याच्या भीतीपेक्षा जास्त प्रबळ असली पाहिजे.


भूक आहे तेवढे खाणे हि प्रकृती, भूक आहे त्यापेक्षा जास्त खाणे हि विकृती आणि वेळेप्रसंगी स्वतः उपाशी राहून दुसऱ्याची भूक भागवणे हि संस्कृती..


माणसाच्या आयुष्यातील संकट ही यशाचा आनंद घेण्यासाठी आवश्यक आहेत.


Marathi Motivational Thoughts Images

Marathi Motivational Thoughts Images

Marathi Motivational Thoughts Images

जर मला झाड तोडायला 6 तास दिलेत तर मी 4 तास कुऱ्हाडीला धार लावण्यासाठी खर्च करेल.


यशाकडे नेणारा सर्वात जवळचा मार्ग अजून तयार व्हायचा आहे.


अनेक अपयशाची कारणीभूत बाब म्हणजे माणसाचा स्वभाव. ते जेव्हा प्रयत्न सोडतात. तेव्हा आपन यशाच्या किती जवळ आहोत याची त्यांना कल्पना नसते.


Marathi Motivational Thoughts

Marathi Motivational Thoughts

Marathi Motivational Thoughts

जिंकण्याची मजा तेव्हाच येते….जेव्हा सर्वजन तुमच्या हरण्याची वाट पाहत असतात….


माणसाला दोनच गोष्टी हुशार बनवतात..एक म्हणजे वाचलेली पुस्तकं आणि दुसरी भेटलेली माणसं.


स्वप्न मोफतच असतात, फक्त त्यांचा पाठलाग करतांना आयुष्यात बरीच किंमत मोजावी लागते….


Marathi SMS Motivational

Marathi SMS Motivational

Marathi SMS Motivational

100 लोकांच्या शर्यतीत पाहिलं येण्यासाठी 99 लोकांपेक्षा काहीतरी वेगळ करावं लागतं.


जर तुम्ही नेहमीच सार्वसाधारण जीवन जगण्याचा प्रयत्न करीत असालं तर, तुम्हाला कधीच हे उमजणार नाही कि, तुम्ही किती असामान्य आहात.


Marathi Status for Motivation

Marathi Status for Motivation

Marathi Status for Motivation

आपली खरी स्वप्न तीच आहे जी आपल्याला रात्री उशिरापर्यंत जागण्यास आई सकाळी लवकर उठण्यास भाग पाडतात.


कोणाच्याही सावलीखाली उभा राहिल्यावर स्वतःची सावली कधीच निर्माण होत नाही. स्वतःची सावली निर्माण करण्यासाठी स्वतः उन्हात उभे रहावे लागते.


काहीही झाल तरी प्रयत्न सोडू नका.


Marathi Suvichar for Whatsapp

Marathi Suvichar for Whatsapp

Marathi Suvichar for Whatsapp

खंबीरपणे उभे रहा जग तुमचे काही बिघडवू शकत नाही.


कोणी कौतुक करो वा टीका लाभ तुमचाच, कौतुक प्रेरणा देते, तर टीका सुधारण्याची संधी.


यश हे सोपे कारण ते कशाच्या तरी तुलनेत असते, पण समाधान हे महाकाठीन, कारण त्याला मनाचीच परवानगी लागते.


Motivation Marathi Status

Motivation Marathi Status

Motivation Marathi Status

आयुष्य हा बुद्धिबळाचा खेळ आहे जर टिकून राहायचे असेल तर चाली रचत राहाव्या लागतील.


सत्य ही अशी एक श्रीमंती आहे कि, जी एकदाच खर्च करून त्याचा आयुष्यभर आनंद उपभोगता येतो, पण असत्य हे एक प्रकारचे कर्ज आहे, ज्यामुळे तत्काळ सुख मिळत, परंतु आयुष्यभर त्याची परतफेड करावी लागते.


व्यक्तीमत्व सुंदर नसेल तर दिसण्याचा काहीच अर्थ नाही. कारण सुंदर दिसण्यात अन सुंदर असण्यात खूप फरक असतो.


Motivation Thought in Marathi

Motivation Thought in Marathi

Motivation Thought in Marathi

तुमच्या धेय्यावरून जग तुम्हाला ओळखत असतं.


मानवाचा दानव होणे ही त्याची हार, मानवाचा महामानव होणे, हा त्याचा चमत्कार आणि मानवाचा माणूस होणे हे त्याचे यश आहे.


प्रत्येक पाऊल योग्य नसते, पण धोके पत्करून त्यातून जे शिकत जातात ते धेय्य नक्क्की गाढतात.


Motivational Images in Marathi

Motivational Images in Marathi

Motivational Images in Marathi

“यशाचा उत्तम मार्ग म्हणजे अजुन एकदा प्रयत्न करने होय”.


आयुष्यात कधीही कोणासमोर स्वतःच स्पष्टीकरण देत बसू नका कारण ज्यांना तुम्ही आवडता, त्यांना स्पष्टीकरणाची अजिबात गरज नसते, अन ज्यांना तुम्ही आवडत नाही ते तुमच्या स्पष्टीकरणावर कधीच विश्वास ठेवायला तयार होत नाही.


उठा आणि संघर्ष करा!


Motivational Marathi Status

Motivational Marathi Status

Motivational Marathi Status

 दुनिया आपल्याला तो पर्यंत हरवू शकत नाही जोपर्यंत आपण हरण्याचा विचार करत नाही.


स्वतःची तुलना इतरां बरोबर करू नका, तसे केल्यास तुम्ही स्वतःचा अपमान करता आहात.


कधी कधी देव तुमची परीस्तीती बदलत नाही कारण त्याला तुमची मनस्थिती बदलायची असते.


Motivational Marathi Suvichar

Motivational Marathi Suvichar

Motivational Marathi Suvichar

 परिश्रम हे जीवनाच्या साफल्याचे रहस्य आहे.


विश्वास हा खोडरबर सारखा असतो तुम्ही केलेल्या प्रत्येक चुकीबरोबर तो कमी होत जातो.


मोठ व्हायचं आणि यशस्वी व्हायचय तर अपमान गिळायला शिका. उद्या मोठे व्हाल तेव्हा हीच अपमान करणारी लोक स्वतःचा मान वाढवायचा तुमची ओळख सांगतील!


Motivational Msg in Marathi

Motivational Msg in Marathi

Motivational Msg in Marathi

 उजेडणारी प्रत्येक सकाळ तुम्हाला दोन पर्याय देऊन जाते झोपून स्वप्न पाहत राहा, किंवा उठून स्वप्नांचा पाठलाग करा.


सगळ्यात सुंदर नाते हे दोन डोळ्यांचे असते ते एकाच वेळी उघडझाप करतात एकाचवेळी रडतात एकाचवेळी झोपतात ते ही आयुष्यभर एकमेकांना न बघता.


जर तुम्हाला आयुष्यामध्ये खूप संघर्ष करावा लागत असेल, तर स्वत:ला खूप नशीबवान समजा कारण देव संघर्ष करायची संधी फक्त त्यांनाच देतो, ज्यांच्यामध्ये क्षमता असते!


Motivational Quotes in Marathi for Students

Motivational Quotes in Marathi for Students

Motivational Quotes in Marathi for Students

 काहीही झालं तरी प्रयत्न करणे सोडू नका.


नात्याची सुंदरता एकमेकांचे दोष स्वीकारण्यात आहे कारण एकही दोष नसलेल्या माणसाचा शोध घेत बसलात, तर आयुष्यभर एकटे राहाल.


अनुभवाने एक शिकवण दिली आहे, कुणाच्या चुका उणीवा शोधात बसू नका. नियती बघुन घेईल हिशोब तुम्ही करू नका.


Motivational Quotes in Marathi for Success

Motivational Quotes in Marathi for Success

Motivational Quotes in Marathi for Success

गणितात कच्चे असाल तरी चालेल पण हिशोबात पक्के रहा.


अडचणीत असतांना अडचणीपासून दूर पळणे म्हणजे अजून मोठ्या अडचणीत जाण्यासारखेच आहे.


कोणत्याही संकाटाशिवाय मिळणारे यश हा “विजय” ठरतो; पण अनेक संकटाशी सामना करून मिळालेला विजय हा इतिहास घडवतो.

सुविचार मराठी मध्ये छोटे

जीवन सुविचार मराठी

शालेय सुविचार मराठी छोटे

कर्तव्य सुविचार मराठी

सुंदर सुविचार मराठी

सुविचार मराठी सुविचार

सुविचार मराठी छोटे 50

सुविचार मराठी छोटे photo

2लाभले आम्हास भाग्य बोलतो मराठी


3मराठी बात में


4लग्नाच्या वाढदिवसाच्या शुभेच्छा मराठी संदेश


5ट्रान्सलटे इंग्लिश तो मराठी

Greatest common divisor

 Recall that the Greatest Common Divisor (GCD) of two integers A and B is the largest integer that divides both A and B.

The Euclidean Algorithm is a technique for quickly finding the GCD of two integers.

How is the Algorithm

The Euclidean Algorithm for finding GCD(A,B) is as follows:
  • If A = 0 then GCD(A,B)=B, since the GCD(0,B)=B, and we can stop.  
  • If B = 0 then GCD(A,B)=A, since the GCD(A,0)=A, and we can stop.  
  • Write A in quotient remainder form (A = B⋅Q + R)
  • Find GCD(B,R) using the Euclidean Algorithm since GCD(A,B) = GCD(B,R)

For Example:

Find the GCD of 270 and 192
  • A=270, B=192
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 270/192 = 1 with a remainder of 78. We can write this as: 270 = 192 * 1 +78
  • Find GCD(192,78), since GCD(270,192)=GCD(192,78)
A=192, B=78
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 192/78 = 2 with a remainder of 36. We can write this as:
  • 192 = 78 * 2 + 36
  • Find GCD(78,36), since GCD(192,78)=GCD(78,36)
A=78, B=36
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 78/36 = 2 with a remainder of 6. We can write this as:
  • 78 = 36 * 2 + 6
  • Find GCD(36,6), since GCD(78,36)=GCD(36,6)
A=36, B=6
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 36/6 = 6 with a remainder of 0. We can write this as:
  • 36 = 6 * 6 + 0
  • Find GCD(6,0), since GCD(36,6)=GCD(6,0)
A=6, B=0
  • A ≠0
  • B =0, GCD(6,0)=6
So we have shown:
GCD(270,192) = GCD(192,78) = GCD(78,36) = GCD(36,6) = GCD(6,0) = 6
GCD(270,192) = 6

Understanding the Euclidean Algorithm

If we examine the Euclidean Algorithm we can see that it makes use of the following properties:
  • GCD(A,0) = A
  • GCD(0,B) = B
  • If A = B⋅Q + R and B≠0 then GCD(A,B) = GCD(B,R) where Q is an integer, R is an integer between 0 and B-1
The first two properties let us find the GCD if either number is 0. The third property lets us take a larger, more difficult to solve problem, and reduce it to a smaller, easier to solve problem.
The Euclidean Algorithm makes use of these properties by rapidly reducing the problem into easier and easier problems, using the third property,  until it is easily solved by using one of the first two properties.
We can understand why these properties work by proving them.
We can prove that GCD(A,0)=A is as follows:
  • The largest integer that can evenly divide A is A.
  • All integers evenly divide 0, since for any integer, C, we can write C ⋅ 0 = 0. So we can conclude that A must evenly divide 0.
  • The greatest number that divides both A and 0 is A.
The proof for GCD(0,B)=B is similar. (Same proof, but we replace A with B).
To prove that GCD(A,B)=GCD(B,R) we first need to show that GCD(A,B)=GCD(B,A-B).
Suppose we have three integers A,B and C such that A-B=C.
Proof that the GCD(A,B) evenly divides C
The GCD(A,B), by definition, evenly divides A. As a result, A must be some multiple of GCD(A,B). i.e. X⋅GCD(A,B)=A where X is some integer
The GCD(A,B), by definition, evenly divides B. As a result,  B must be some multiple of GCD(A,B). i.e. Y⋅GCD(A,B)=B where Y is some integer
A-B=C gives us:
  • X⋅GCD(A,B) - Y⋅GCD(A,B) = C
  • (X - Y)⋅GCD(A,B) = C
So we can see that GCD(A,B) evenly divides C.
An illustration of this proof  is shown in the left portion of the figure below:
Proof that the GCD(B,C) evenly divides A
The GCD(B,C), by definition, evenly divides B. As a result, B must be some multiple of GCD(B,C). i.e. M⋅GCD(B,C)=B where M is some integer
The GCD(B,C), by definition, evenly divides C. As a result,  C must be some multiple of GCD(B,C). i.e. N⋅GCD(B,C)=C where N is some integer
A-B=C gives us:
  • B+C=A
  • M⋅GCD(B,C) + N⋅GCD(B,C) = A
  • (M + N)⋅GCD(B,C) = A
So we can see that GCD(B,C) evenly divides A.
An illustration of this proof  is shown in the figure below
Proof that GCD(A,B)=GCD(A,A-B)
  • GCD(A,B) by definition, evenly divides B.
  • We proved that GCD(A,B) evenly divides C.
  • Since the GCD(A,B) divides both B and C evenly it is a common divisor of B and C.
GCD(A,B) must be less than or equal to, GCD(B,C), because GCD(B,C) is the “greatest” common divisor of B and C.
  • GCD(B,C) by definition, evenly divides B.
  • We proved that GCD(B,C) evenly divides A.
  • Since the GCD(B,C) divides both A and B evenly it is a common divisor of A and B.
GCD(B,C) must be less than or equal to, GCD(A,B), because GCD(A,B) is the “greatest” common divisor of A and B.
Given that GCD(A,B)≤GCD(B,C) and GCD(B,C)≤GCD(A,B) we can conclude that:
GCD(A,B)=GCD(B,C)
Which is equivalent to:
GCD(A,B)=GCD(B,A-B)
An illustration of this proof  is shown in the right portion of the figure below.
Proof that GCD(A,B) = GCD(B,R)
We proved that GCD(A,B)=GCD(B,A-B)
The order of the terms does not matter so we can say GCD(A,B)=GCD(A-B,B)
We can repeatedly apply GCD(A,B)=GCD(A-B,B) to obtain:
GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q⋅B,B)
But A= B⋅Q + R so  A-Q⋅B=R
Thus GCD(A,B)=GCD(R,B)
The order of terms does not matter, thus:
GCD(A,B)=GCD(B,R)

I hope its clear now.

fly