शुक्रवार, 5 मार्च 2021

Greatest common divisor

 Recall that the Greatest Common Divisor (GCD) of two integers A and B is the largest integer that divides both A and B.

The Euclidean Algorithm is a technique for quickly finding the GCD of two integers.

How is the Algorithm

The Euclidean Algorithm for finding GCD(A,B) is as follows:
  • If A = 0 then GCD(A,B)=B, since the GCD(0,B)=B, and we can stop.  
  • If B = 0 then GCD(A,B)=A, since the GCD(A,0)=A, and we can stop.  
  • Write A in quotient remainder form (A = B⋅Q + R)
  • Find GCD(B,R) using the Euclidean Algorithm since GCD(A,B) = GCD(B,R)

For Example:

Find the GCD of 270 and 192
  • A=270, B=192
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 270/192 = 1 with a remainder of 78. We can write this as: 270 = 192 * 1 +78
  • Find GCD(192,78), since GCD(270,192)=GCD(192,78)
A=192, B=78
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 192/78 = 2 with a remainder of 36. We can write this as:
  • 192 = 78 * 2 + 36
  • Find GCD(78,36), since GCD(192,78)=GCD(78,36)
A=78, B=36
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 78/36 = 2 with a remainder of 6. We can write this as:
  • 78 = 36 * 2 + 6
  • Find GCD(36,6), since GCD(78,36)=GCD(36,6)
A=36, B=6
  • A ≠0
  • B ≠0
  • Use long division to find that 36/6 = 6 with a remainder of 0. We can write this as:
  • 36 = 6 * 6 + 0
  • Find GCD(6,0), since GCD(36,6)=GCD(6,0)
A=6, B=0
  • A ≠0
  • B =0, GCD(6,0)=6
So we have shown:
GCD(270,192) = GCD(192,78) = GCD(78,36) = GCD(36,6) = GCD(6,0) = 6
GCD(270,192) = 6

Understanding the Euclidean Algorithm

If we examine the Euclidean Algorithm we can see that it makes use of the following properties:
  • GCD(A,0) = A
  • GCD(0,B) = B
  • If A = B⋅Q + R and B≠0 then GCD(A,B) = GCD(B,R) where Q is an integer, R is an integer between 0 and B-1
The first two properties let us find the GCD if either number is 0. The third property lets us take a larger, more difficult to solve problem, and reduce it to a smaller, easier to solve problem.
The Euclidean Algorithm makes use of these properties by rapidly reducing the problem into easier and easier problems, using the third property,  until it is easily solved by using one of the first two properties.
We can understand why these properties work by proving them.
We can prove that GCD(A,0)=A is as follows:
  • The largest integer that can evenly divide A is A.
  • All integers evenly divide 0, since for any integer, C, we can write C ⋅ 0 = 0. So we can conclude that A must evenly divide 0.
  • The greatest number that divides both A and 0 is A.
The proof for GCD(0,B)=B is similar. (Same proof, but we replace A with B).
To prove that GCD(A,B)=GCD(B,R) we first need to show that GCD(A,B)=GCD(B,A-B).
Suppose we have three integers A,B and C such that A-B=C.
Proof that the GCD(A,B) evenly divides C
The GCD(A,B), by definition, evenly divides A. As a result, A must be some multiple of GCD(A,B). i.e. X⋅GCD(A,B)=A where X is some integer
The GCD(A,B), by definition, evenly divides B. As a result,  B must be some multiple of GCD(A,B). i.e. Y⋅GCD(A,B)=B where Y is some integer
A-B=C gives us:
  • X⋅GCD(A,B) - Y⋅GCD(A,B) = C
  • (X - Y)⋅GCD(A,B) = C
So we can see that GCD(A,B) evenly divides C.
An illustration of this proof  is shown in the left portion of the figure below:
Proof that the GCD(B,C) evenly divides A
The GCD(B,C), by definition, evenly divides B. As a result, B must be some multiple of GCD(B,C). i.e. M⋅GCD(B,C)=B where M is some integer
The GCD(B,C), by definition, evenly divides C. As a result,  C must be some multiple of GCD(B,C). i.e. N⋅GCD(B,C)=C where N is some integer
A-B=C gives us:
  • B+C=A
  • M⋅GCD(B,C) + N⋅GCD(B,C) = A
  • (M + N)⋅GCD(B,C) = A
So we can see that GCD(B,C) evenly divides A.
An illustration of this proof  is shown in the figure below
Proof that GCD(A,B)=GCD(A,A-B)
  • GCD(A,B) by definition, evenly divides B.
  • We proved that GCD(A,B) evenly divides C.
  • Since the GCD(A,B) divides both B and C evenly it is a common divisor of B and C.
GCD(A,B) must be less than or equal to, GCD(B,C), because GCD(B,C) is the “greatest” common divisor of B and C.
  • GCD(B,C) by definition, evenly divides B.
  • We proved that GCD(B,C) evenly divides A.
  • Since the GCD(B,C) divides both A and B evenly it is a common divisor of A and B.
GCD(B,C) must be less than or equal to, GCD(A,B), because GCD(A,B) is the “greatest” common divisor of A and B.
Given that GCD(A,B)≤GCD(B,C) and GCD(B,C)≤GCD(A,B) we can conclude that:
GCD(A,B)=GCD(B,C)
Which is equivalent to:
GCD(A,B)=GCD(B,A-B)
An illustration of this proof  is shown in the right portion of the figure below.
Proof that GCD(A,B) = GCD(B,R)
We proved that GCD(A,B)=GCD(B,A-B)
The order of the terms does not matter so we can say GCD(A,B)=GCD(A-B,B)
We can repeatedly apply GCD(A,B)=GCD(A-B,B) to obtain:
GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q⋅B,B)
But A= B⋅Q + R so  A-Q⋅B=R
Thus GCD(A,B)=GCD(R,B)
The order of terms does not matter, thus:
GCD(A,B)=GCD(B,R)

I hope its clear now.

गुरुवार, 4 मार्च 2021

World Hearing Day बहिरेपणावर उपचार

 World Hearing Day बहिरेपणावर   उपचार

People affected by hearing loss and deafness - Ent Bhopal

आज जगभरातील साधारण ४०० मिलियन लोकांनी आपली ऐकण्याची शक्ती गमावली आहे. इतकेच नाही तर ऐकण्याच्या शक्तीबाबत वर्ल्ड हेअरिंगचा रिपोर्ट तर अधिक धक्कादायक आहे. या रिपोर्टनुसार २०५० पर्यंत ही आकडेवारी ७०० मिलियनपेक्षा जास्त असेल. याची अनेक कारणे आहेत. मात्र, सर्वात मोठं कारण आहे जास्त वेळ मोठ्या आवाजात गाणी ऐकणं. आज वर्ल्ड हेअरिंग डे (World Hearing Day) म्हणजे ३ मार्चला वर्ल्ड हेल्थ ऑर्गनायझेशन याबाबत रिपोर्ट सादर करणार आहे.

या रिपोर्टमध्ये सांगितलं जाणार आहे की, कशाप्रकारे तुम्ही ऐकण्याची शक्ती नेहमीसाठी वाचवून ठेवू शकता. यावर्षी हेअरिंग डे च्या थीमचं नाव हे Hearing care for All-Screen. Rehabilitate. Communicate. हे पहिल्यांदाच होणार आहे की, ऐकण्याच्या शक्तीबाबत  जगात पहिल्यांदा कुणी रिपोर्ट लॉन्च करणार आहे.

 World Hearing Day बहिरेपणावर   उपचार

जरबिल्स किंवा वाळवंटातील उंदरांवर हा प्रयोग करण्यात आला. बहि-या उंदरांच्या कानातील मेंदूकडे आवाज प्रवाहित करणारी नस शास्त्रज्ञांनी स्टेम सेलच्या सहाय्याने पुन्हा तयार केली. त्यामुळे या उंदरांची श्रवणशक्ती काही प्रमाणात परत मिळाली. हे संशोधन ‘नेचर’ या मासिकात प्रकाशित झालं आहे.

अशा प्रकारे बहि-या माणसांमध्येही ऐकण्याची क्षमता परत मिळवता येईल अशी आशा शास्त्रज्ञांना वाटत आहे. मात्र याद्वारे माणसांवर उपचार करणं अद्याप एक स्वप्नच आहे. ज्यावेळी आपण रेडिओ ऐकू इच्छितो किंवा एखाद्या मित्राबरोबर गप्पा मारू इच्छितो तेव्हा आपल्या कानाला हवेतील ध्वनिलहरींचं रूपांतर विद्युत (इलेक्ट्रीकल) इशा-यांमध्ये करावं लागतं, जेणेकरून त्या लहरी मेंदूला समजतील. हे सगळं आपल्या आतल्या कानातील खोल अंतर्भागात घडतं, तिथे कंपनांमुळे सूक्ष्म केस विचलित होतात आणि त्या हालचालीमुळे विद्युत इशारा निर्माण होतो. तथापि, दहापैकी एक व्यक्ती बहिरी असते आणि अशा व्यक्तींच्या कानातील इशारा ग्रहण करणारी नस नादुरुस्त असते.

एखाद्या रिले शर्यतीत पहिल्या टप्प्यानंतरच बॅटन खाली टाकण्यासारखं, हे घडतं. ब्रिटनमधील शेफिल्ड विद्यापीठातील शास्त्रज्ञांचं ध्येय होतं की ही बॅटन टाकणा-या या नसेच्या पेशींना बदलणं. या पेशींना स्पायरल गँगलियॉन न्युरॉन्स असं म्हणतात. या न्युरान्सच्या जागी दुस-या पेशी आणणं. यासाठी त्यांनी मानवी गर्भातील स्टेम सेलचा वापर केला. कारण या पेशींपासून मानवी शरीरातील नसेपासून त्वचा, किडनी, किंवा स्नायूपर्यंत कोणत्याही प्रकारची पेशी बनणं शक्य असतं.

या स्टेम सेल्समध्ये एक रासायनिक द्रव्य सोडण्यात आलं, त्यामुळे त्या स्टेम सेल्स स्पायरल गँगलियॉन न्युरॉन्ससारख्या पेशींमध्ये रूपांतरित झाल्या. या पेशींना १८ बहि-या उंदरांच्या अंतर्कानात इंजेक्शनद्वारे थेट सोडण्यात आलं. पुढील दहा आठवडय़ांच्या काळात या उंदरांची ऐकण्याची क्षमता चांगलीच सुधारली. त्यांची सरासरी ४५ टक्के श्रवणशक्ती त्यांना परत मिळाली. हे संशोधन करणारे डॉ. मास्रेलो रिवोल्टा यांनी सांगितलं की, या उपचारामुळे बहि-या व्यक्तींमध्ये ऐकण्याची क्षमता काही प्रमाणात निर्माण होऊ शकते. हा काही पूर्ण उपचार नाही. या व्यक्तींना कुजबूज ऐकू येणार नाही. पण एखाद्या खोलीत चाललेल्या संभाषणात त्यांना भाग घेता येईल. 

कसा कराल बचाव?

वर्ल्ड हेल्थ ऑर्गनायझेशनने सांगितले की, बहिरेपणा आणि कानाशी संबंधित समस्यांपासून बचाव करण्यासाठी सर्वात महत्वाचं आहे तुम्ही मोठ्या आवाजात म्युझिक ऐकणं बंद करा. त्यासोबतच तुम्हाला वाटत असेल की, तुम्हाला कमी ऐकू येत आहे तर लगेच चेकअप करा. सोबतच यूएन हेल्थ एजन्सीचं सांगणं आहे की, कानाशी संबंधित समस्या किंवा ऐकण्याशी संबंधित समस्या होत असेल तर लगेच डॉक्टरांना संपर्क करा.

या कारणांनी होऊ शकता बहिरे

- तुम्हाला वाटत असेल की, बहिरेपणाची समस्या केवळ लाउड म्युझिकमुळे होत असेल तर तुम्ही चुकीचा विचार करताय. ही समस्या बऱ्याच लोकांना जन्मताच असते. त्यासोबतच इन्फेक्शन आणि खराब लाइफस्टाईलही बहिरेपणाचं कारण ठरू शकते.

- कानात इन्फेक्शन झाल्यानेही अनेकदा तुम्हाला कमी ऐकू येतं. ही एक स्वाभावि क बाब आहे. पण इन्फेक्शन पुन्हा पुन्हा होत असेल, किंवा कानातून द्रव्य येत असेल तर यानेही तुम्ही बहिरे होऊ शकता.

   हेल्थ ऑर्गनायझेशनचा अंदाज आहे की आज जगात जी ऐकण्याच्या शक्तीची जी समस्या निर्माण होत आहे. त्याचं कारण  जास्त वेळ मोठ्या आवाजात म्युझिक ऐकणं हे आहे. आज जगभरात ६० टक्के तरूण या समस्येने प्रभावित आहेत.

रिपोर्टमध्ये सांगण्यात आलं आहे की, बहिरेपणाची समस्या जास्तीत जास्त त्या देशांमध्ये वाढत आहे जे पूर्णपणे विकसित झालेले नाहीत. तसेच या देशांनी या समस्येला दूर करण्याचे काही उपायही शोधले नाहीत ना याबाबत ते जागरूक आहेत. तसेच या देशांमध्ये एका चांगल्या इन्फ्रास्ट्रक्चरचीही कमतरता आह. अशात जेव्हा व्यक्ती ऐकण्याची शक्ती गमावून बसतो तेव्हा त्याला भाषा शिकण्यात अडचण येते आणि त्याला संवाद करणंही लिमिटेड होऊन जातं.

कठोर पावलं उचलणं गरजेचं

जगात लोकांच्या बहिरेपणाची स्थिती बघता WHO ने मानले आहे की, इतक्या मोठ्या प्रमाणात लोकांची ऐकण्याची शक्ती गमावणं हे स्वीकार करण्यासारखं नाही. ही समस्या दूर करण्यासाठी काही पावलं उचलणं गरजेचं आहे. आता या समस्येसोबत दोन हात करण्यासाठी WHO सरकारांना यासंबंधी काही योजना लागू करण्याचा सल्ला देत आहे. 

fly